Олонлогийн онол нь бүх математикийн суурь болтлоо хөгжсөн байна. Математикт нэгэн ижил зүйлүүдийг эсвэл  ялгаатай юмсыг нэг бүхэл болгон байнга судалдаг. Тухайлбал, натурал тоо, гурвалжин , квадрат, гэх мэт . Эдгээр бүх ялгаатай ийн иолонлогийг тэмдэглэнэ . Энэд :A, B, C,.... Z.

Нэг  ч элемент агуулаагүй олонлогийг хоосон олонлог гэж нэрлээд Ш гэж тэмдэглэдэг.

Олонлогийг бүрдүүлж байгаа объектыг түүний элементүүд гэж нэрлээд, латин цагаан толгойн жижиг үсгээр тэмдэглэнэ .Энд : a ,b, c,.... z.

Математикт олонлогт ямар нэг юмс харьяалагдана, эсвэл харьяалагдахгүй гэдгийг тайлбарлах хэрэг гардаг бөгөөд тэмдгэлхийн тулд  ба      тэмдэглэгээг оруулсан.    объект А олонлогт харьяалагдана      гэдгийг а    А гэж тэмдэглэнэ. Харин   а оаъект харьяалагдахгүй гэдгийг а  А гэж бичнэ.

Олонлогт төгсгөлөг, эсвэл төгсгөлгүй байн. Эдгээр ойлгйлтыг тодорхойлолтгүйгээр хэрэглэнэ. Тэдгээрийг жишээгээр тайлбарлая. Долоо хоногийн өдрийн олонлог, жилийн сарын олонлнг төгсгөлөг олонлог ба харин шулууны цэгүүдийн олонлог, натурал тооны олонлрг төгсгөлгүй олонлог юм.

Математикт тоон олонлогуудыг

N- натурал тоон олонлог

Z- бүхэл тоон олонлог

Q- рационал тоон олонлог

R-бодит тоон олонлог гэж тус тус тэмдэглэдэг.

Жишээ бодлого:

1. X олонлог ургамалын  олонлог бол

     1. хус     2. Гацуур     3. наранцэцэг     4. Халим     5. Хөх яргуй элемент нь болох уу ?

2. Дараах олонлогийн гурван элементийг нэрлэ.

             1 Дунд ангид сурдаг гурван хичээл

             2 Дөрвөн сондгой натурал тоо

 

 

ОЛОНЛОГИЙГ ӨГӨХ АРГУУД

Тодорхойлолт: Олонлогийн элемент бүрийн хувьд биелдэг, түүнд харьяалагдахгүй  нэг ч элементийн хувьд биелдэггүй чанарыг олонлогийн элементийг тодорхойлох шинж чанар гэнэ.

 

 

Нэгдүгээр бодлого: 65-аас их, 75-аас бага натурал тоонуудыг бич.

Бодолт:   Энэ олонлогийн тоонууд 65-аас их, 75-аас бага байх гэсэн шинж чанараар өгөгджээ. Түүний элементүүдийг тоочин бичвэл: 

Хоёрдугаар бодлого: А олонлогийг элементүүдийн тодорхойлох шинж чанараар илэрхийл.

Бодолт:   А олонлогийн бүх элементийг тоочин бичжээ. Тэдгээрийн тодорхойлох шинж чанар нь: 2 гэсэн цифрээр төгссөн, хоёр оронтой тоо байх.

        Олонлог хоорондын харьцаа

Математикт олонлог төдийгүй тэдгээрийн хоорондын харьцаа, харилцан хамаарлыг судалдаг.Тухайлбал, бидэнд натурал тоо бүхэн бүхэл тоо байх нь илэрхий.Олонлогийн тухай ухагдахуун нь янз бүрийн бөөгнөрлүүдийн хоорондох харилцан хамаарлын тодорхой тохиолдлуудыг ерөнхийлөх ба тэдгээрийг нэг үзэл санаагаар тайлбарлах боломжийг буй болгодог.

Хэрэв А ба В олонлогууд ерөнхий элементтэй,ө.х А ба В олонлогт нэгэн зэрэг харъалагддаг элемэнт байвал тэдгээрийг огтлолцож байна гэдэг.тухайлбал:А ,B=,C= олонлогуудын хувьд А ба В олонлог нь  гэсэн ерөнхий элемэнттэй тул огтлолцож байна, харин А ба С,В ба С олонлогууд ерөнхий элементгүй  тул огтлолцохгүй байна.

Одоо  А=,В= гэсэн олонлогуудыг авч үзье.Тэдгээр нь огтлолцохоос гадна В олонлогийн бүх элемент А олонлогийн элемент болж байна.Энэ тохиолдолд В олонлогт багтаж байна, эсвэл В нь А олонлогийн дэд олонлог болж байна гээд ВА гэж тэмдэглэнэ.

Тодорхойлолт:Хэрэв В олонлогийн бүх элемент А олонлогийн элемент болж байвал В-г А олонлогийн дэд олонлог гэнэ.Хоосон олонлогийг дурын олонлогийн дэд олонлог гэж үзнэ.Дурын олонлог өөрийнхөө дэд олонлог болно.

Хэрэв ВА бол тодорхойлолтоос В хоосон олонлог байж болох ба  А, В олонлог А-тай давхацсан үед АА гэж мөрдөнө.Иймээс өгөгдсөн А олонлогийн бүх дэд олонлогт хоосон олонлог гээд нийт 8 дэд олонлогтой байна.

Хэрэв А олонлог n ширхэг элементтэй бол 2n ширхэг ялгаатай дэд олонлогтойг баталдаг.

Одоо А= В= гэсэн олонлогуудыг авч үзье.Тэд огтлолцох ба А олонлогийн бүх элемент В олонлогийн элемент болж байна.Ө.х АВ. Урвуугаар В олонлогийн бүх элемент А олонлогийн элемент болж байна. Ө.х ВА.Энэ үед А ба В олонлогуудыг тэнцүү гээд А=В гэж тэмдэглэнэ.

Тодорхойлолт: АВ ба ВА бол А,В олонлогуудыг тэнцүү олонлогууд гээд А=В гэж тэмдэглэнэ.

Тодорхойлолтоос тэнцүү олонлогууд нь ижил элементүүдээс тогтох ба тэдгээрийн бичлэг дэх элементүүдийнх нь эрэмбээс хамаарахгүй нь шууп мөрдөн гарна.

Леонард Эйлер (1707-1783).Тэрээр Щвейцарьт төрсөн ба 1727 онд Петербургийн шинжлэх ухааны академийн урилгаар Орост очсон. Эйлерийн нөр их хөдөлмөрийн үр үр дүнд математикт түүний нэрээр нэрлэгдэх 800 гаруй бүтээл байдаг. Олонлогуудын хоорондох харьцааг Эйлерийн дугуй (Веннийн диаграмм гэж нэрлэх гь бий)гэгдэх онцгой зураглалаар дүрсэлдэг. Үүний тулд олонлогийн дугуй. Зуйван дугуй,эсвэл геометрийн бусад дүрсээр төлөөлүүлдэг.

 

 

                    В               А                           В                               А                   В

a)                                 б)                               в)                         г)

             2-р зураг                                                                                    3-р зураг

Хэрэв А ба В олонгууд ерөнхий элементтэй боловч аль нь ч нөгөөгийнхөө дэд олонлог болохгүй байвал 2.а) зураг шиг дүрслэгдэнэ.Хэрэв В олонлог А олонлогийн дэд ологлог болж байвал 2.б) зураг шиг дүрслэгдэнэ. .Хэрэв А олонлог В олонлогийн дэд ологлог болж байвал 2.в) зураг шиг дүрслэгдэнэ.Хэрэв тэнцүү олонлогууд байвал 2.г  зураг шиг дүрслэгдэнэ.Хэрэв А ба В олонлог ерөнхий элементгүй байвал 3 дугаар  зураг шиг дүрслэгдэнэ.

Дэд олонлогийн ухагдахуун нь хэсэг ба бүхлийн тухай ухагдахууны өргөтгөл юм.

Бага ангийн суралцагчид хэсэг ба бүхлийн тухай ухагдахууныг янз бүрийн даалгавар гүйцэтгэж эзэмшдэг.Тухайлбал,<< Өгсөн тоонуудаас тэгш тоог нь нэрлэ>>,<<өгсөн дөрвөн өнцөгтүүдээс тэгш өнцөгтийг ол>>

Олонлогуудын огтлолцол

Хоёр болон түүнээс олон олонлогийн элементүүдээс шинэ олонлогийг үүсгэж болно.   А олонлогт ч , В олонлогт ч харьяалагдах элементүүдээс бүрдэх олонлогийг А ба В олонлогийн огтлолцол гэнэ.

А ба В олонлогийн огтлолцлыг АВ гэж тэмдэглэдэг.

Тодорхойлолт ёсоор:     АВ 

А ба В олонлогууд ерөнхий элементгүй үед тэдгээрийн огтлолцлыг хоосон гээд A гэж тэмдэглэнэ. Олонлогуудын огтлолцлыг хэрхэн олохыг тодорхой тохиолдлуудад авч үзье.

Хэрэв А ба В олонлогийн элементүүдийг тоочсон бол АВ олонлогийг олохдоо А ба В олонлогт хоёуланд нь харьяалагдах элементүүдийг , ө.х тэдгээрийн ерөнхий элементийг тоочиход хангалттай.

Харин олонлогууд элементийнхээ шинж чанараар өгөгдсөн үед тэдгээрийн огтлолцлыг яаж олох вэ?

Огтлолцлын тодорхойлолтоос АВ олонлогийн элементийн шинж чанар нь огтлолцож байгаа олонлогуудын элементийн шинж чанаруудыг   холбоосоор холбоход үүсэх нь мөрдөн гарна.

Жишээ:

1.А  В.  С. олонлогууд өгөв. Тэдгээрийн хос бүрийн огтлолцлыг ол.

А   А  В

2.Ангийн хар үстэй охидын олонлог А харин хамгийн урд эгнээнд суудаг охидын олонлог В байв. Эдгээр олонлогийг Эйлер венийн дугуйгаар дүрсэлж тэдгээрийн огтлолцлыг тодруулан зураасла.Ямар тохиолдолд А баВ олонлогууд оглолцох вэ?

Аүстэй охидын олонлог

ВБат заяа Цэнгэг баяр Саран гэрэл

 

 

 

 

3.М нь сургуулийн сагс тоглодог оюутны олонлог К нь цанаар гулгадаг оюутны олонлог болно. Тэдгээрийн огтлолцлыг олоорой. М ба К олонлогийн огтлолцохгүй байх нөхцөлийг томъёол.

          М         к 

 

                              

 

Олонлогуудын нэгдэл

Зөвхөн А эсвэл В олонлогт харъяалагдах элементүүдээс бүрдэх олонлогийг А ба В олонлогийн нэгдэл гэнэ.

А ба В олонлогийн нэгдлийг А гэж тэмдэглэнэ.

Тодорхойлолт ёсоор А

Олонлогуудын нэгдэл олохыг тодорхой тохиолдолоор авч үзье.

Хэрэв А ба В олонлогийн элементүүд тоочиж өгөгдсөн бол А олонлогийн элементийг олохдоо А эсвэл В олонлогт харьяалагдах элементүүдийг тоочиход хангалттай.

Харин олонлогууд элементийнхээ шинж чанараар өгөгдсөн бол тэдгээрийн нэгдэл олонлогийн элементийг хэрхэн олох вэ?

Нэгдэл олонлогийн тодорхойлолтоос АВ олонлогийн элементийн шинж чанар А ба В олонлогуудын элементийн шинж чанаруудыг “эсвэл” холбоосоор холбоход мөрдөн гарна.

 

Олонлогуудын нэгдэл, огтлолцлын чанарууд

          Ерөнхий боловсролын сургуулийн математикаас тоон дээрх үйлдэл олон чанартай байдгийг бид мэднэ. Тухайлбал, бодит тооны нэмэх үйлдэл нь бүлэглэх ба байр солих чанартай. Энд:

Дурын бодит а, в, с тооны хувьд а+в=в+а ба (а+в)+с=а+(в+с) биелнэ.

Бодит тоонуудын үржүүлэх үйлдэл үүнтэй адил чанаруудтай. Үүнээс гадна нэмэх ба үржүүлэх үйлдлийн хувьд хаалт нээх чанар биелдэг. Энд дурын бодит а, b, с тоонуудын хувьд (а+ b) с=а с+ bс тэнцэтгэл биелнэ. Үүнтэй нэгэн адил чанарууд олонлогийн огтлолцол ба нэгдэлд байдгийг тайлбарлая.

Хэрэв олонлогуудын огтлолцол ба нэгдлийн тодорхойлолтын олонлогуудын эрэмбэ дарааллыг өөрчилсөн гэвэл, өгсөн хоёр олонлогийн хувьд 1 дүгээр олонлогийн элементүүдтэй 2 дугаар олонлогийн элементийг, сөргүүлээд 2 дугаар олонлогийн элементүүдтэй 1 дүгээр олонлогийн элементийг тус тус нэгтгэе. (Энд нэгдлээр үүсэж буй олонлогийн элемент давхардахгүйг анхаарах хэрэгтэй.) Үүнтэй нэгэн адилаар олонлогуудын огтлолцлыг авч үзнэ. Ингэж үүсгэсэн олонлогууд өөр хоорондоо тэнцүү байна. Иймээс олонлогуудын огтлолцол, нэгдэл нь байр солих чанартай байна. Үүнийг математикт «байр солих» чанар гэнэ. Энд дурын А ба В олонлогуудын хувьд АВ=ВА,

АВ=ВА биелнэ.

Олонлогуудын огтлолцол, нэгдэл нь бүлэглэх чанартай. Дурын А, В, С олонлогуудын хувьд (АВ)С=А(ВС), (АВ)С=А(ВС) биелнэ. Энэ бичлэгт хаалт нь тоон илэрхийллийн хаалт шиг утгатай.

Олонлогуудын огтлолцол ба нэгдлийн бүлэглэх чанар нь байр солих чанар шиг шууд илэрхий харагдахгүй учир баталъя.

Баталгаа: Эдгээр чанарыг Эйлерийн дугуйгаар дүрсэлж үзүүлнэ. Тухайлбал,олонлогуудын огтлолцлыг үзүүлье. Тэгэхэд А, В, С олонлогууд хос, хосоороо огтлолцсон 3 дугуйгаар дүрслэгдэнэ. (6 дугаар зураг)

 

6 дугаар зураг

(АВ)С илэрхийлэлд хаалт нь “Эхлээд А ба В олонлогийн огтлолцол” гүйцэтгэхийг илэрхийлнэ. Үүнийг 6.а) зурагт босоогоор зурааслан үзүүлэв. Дараа нь шинээр гаргасан олонлог, С олонлог хоёрын огтлолцлыг олно. Хэрэв С олонлогийг хэвтээ зураасаар дүрсэлбэл давхардаж зураасласан хэсэг

 (А В)С олонлогийн дүрслэл болно.

Олонлогуудын огтлолцол ба нэгдлийн бүлэглэх хуулийн мөн чанар нь Нэгдугээрт: гурван олонлогийн огтлолцол ба нэгдлийг өмнөх шиг 2 аргаар олох, Хоёрдугаарт: энэ чанарт үндэслэн (А В) С, А( В  С),  (АВ) С, АВС) илэрхийлэлд хаалтыг орхиж АВС, эсвэл А В С гэж бичлэг хөнгөвчлөх боломж олгодог.

Олонлогуудын огтлолцол бүлэглэх чанартайг үүнтэй нэгэн адилаар баталж болно. Түүнийг уншигчдад үлдээе.

Олонлогуудын огтлолцол, нэгдлийн хоорондын хамаарлыг хаалт нээх буюу дистрибутив чанар илэрхийлдэг. Дараах хоёр чанарыг авч үзье. Үүнд:

1.      Олонлогуудын нэгдлийг олонлогтой огтлолцуулахад хаалт нээх хууль буюу дистрибутив чанар биелнэ. Ө.х А, В, С дурын олонлогийн хувьд

(А В )  С = (А С) (В С) биелнэ.

2. Олонлогуудын огтлолцлыг олонлогтой нэгтгэхэд хаалт нээх хууль буюу дистрибутив чанар биелнэ. Ө.х А, В, С дурын олонлогийн хувьд

(А  В)  С = (А  С)   (В С) биелнэ. /

Хэрэв огтлолцол ба нэгдлийн тэмдэг бүхий илэрхийлэлд хаалт байхгүй бол нэгдлээсээ огтлолцол нь «хүчтэй» үйлдэл гэж тооцогддог учир түүнийг эхэлж хийдэг. Иймээс нэгдэлд харгалзах огтлолцлын дистрибутив чанарын бичлэгийн баруун гар талын илэрхийлэлд хаалт бичихгүй байж болно.

Энд томъёологдсон чанаруудыг нэгдлийн бүлэглэх чанарын баталгаатай адилхан батална. Дистрибутив чанарыг дүрслэн үзүүлэхдээ Эйлерийн дугуйг ашигладаг.

Хэрэв тоон дээрх үйлдлийг адилтгавал нэгдэлд харгалзах огтлолцлын дистрибутив чанар нь нэмэх үйлдэлд харгалзах үржүүлэх үйлдлийн хаалт нээх чанартай зүйрлэгдэнэ. Энд огтлолцлын үйлдэл нь үржүүлэхтэй, нэгдэл нь нэмэх үйлдэлтэй харгалзан зүйрлэгдэнэ. Гэвч огтлолцолд харгалзах олонлогийн огтлолцолд харгалзах нэгдлийн дистрибутив чанар нь тоон дээрх үйлдлийн чанартай адилхан зүйрлэх боломжгүй юм.

Учир нь a в + c = (a +c)(в + c)тэнэцэтгэл бүх бодит тооны хувьд биелэх боломжгүй

Олонлогуудын ялгавар гүйцээлт

Тодорхойлолт:А олонлогш харьяалагддаг боловч, В олонлогш харъяалагддаггүй элементүүдээс зовхөн бүрдэх олонлогийг А ба В олонлогуудын ялгавар гэнэ

Тодорхойлолт: В А байг. А-д харьяалагддаг ба В-д харьяалагддаггүй элементүүдээс зөвхөн бүрдэх олонлогийг В олонлогийн А олонлог хүртэлх гүйцээлт гэнэ.

Олонлогийн нэгдэл ба ялгаврын тухайд эн чацуу эрхтэй гэж тооцдог. Тухайлбал, АВ С илэрхийллийн хувьд эхэлж А олонлогоос В олонлогийг хасаад, гарсан олонлогийг С олонлогтой нэгтгэдэг.

Олонлогуудын ялгавар олон чанартай.

 

ОЛОНЛОГИЙГ АНГИУДАД  ХУВААХ НЬ

Тодорхойлолт:Олонлогийн ямар ч хуваалт нь тухайн олонлогийн элементүүдийг дэд олонлогуудад хуваах замаар үүсэж буй болно. Энэ үед дараах нөхцлийг хангаж байвал X олонлогийг X1,Х2 ангиудад хуваасан хуваалт гэнэ. Үүнд:

1.     Х1 Х2,.... Хn дэд олонлогууд хоорондоо үл огтлолцоно.

2.     Х1, Х2,.... Хn дэд олонлогуудын нэгдэл Xолонлог байна.

Олонлогийг ангиудад хуваах нь түүний дэд олонлогийг ялгах үйлдэл учир ангиудад Уваах үйлдлийг элементийн шинж чанараар гүйцэтгэж болно.

Тухайлбал натурал тоон олонлогийг авч үзэхэд элементүүд нь янз бүрийн шинж чанартай. Түүнээс “3- ын хуваагдагч байх” гэсэн шинж чанартай. Түүнээс “3- ын хуваагдагч байх” гэсэн шинж чанартай тоонуудыг сонирхоё. Тэгвэл энэ шинж чанар натурал тоон олонлогоос 3- ын хуваагдагч байх тооноос бүрдсэн дэд олонлогийг бидэнд ялгаж өгнө. Харин үлдсэн натурал тоонууд 3- т хуваагдахгүй тоонууд байна.

Ер нь хэрэв X олонлогт нэг шинж чанар өгөгдвөл X олонлог хоёр ангид хуваагддаг.

Ингэж өгөгдсөн 2 шинж чанараар натурал тоон N олонлог дөрвөн ангид хуваагдав. Гэхдээ олонлогийн элементүүдийн 2 шинж чанар өгснөөр, тухайн олонлог 4 ангид үргэлж зөв хуваагдах нь албагүй. Тухайлбал, “3-ын хуваагдагч”,

“6-ийн хуваагдагч” гэсэн хоёр шинж чанараар натурал тоон олонлог гурван ангид хуваагдана.

 

  Олонлогуудын декарт үржвэр

Тодорхойлолт:А В олонлогуудын декарт үржвэр гэж эхний координат нь А олонлогт харьяалагдах  хоёр бахь координат нь В олонлогт харьяалагдах бүх хосоос бүрдэх олонлогийг хэлнэ.А ба В олонлогийн декарт үржвэрийг АxВ гэж тэмдэглэдэг.Энэ тэмдэглэгээг ашиглан декарт үржэрийг АXB={x:y)lxE А ба y E B} гэж бичиж болно.                                1-дүгээр бодлого: Хэрэв a) A={m:p}, B={e;f;k}: b) A=B={3;5} бол А В-ийн декарт үржвэрийг ол.                                                                                     Бодолт      a) тодорхойлолт ёсоор нэгдүгээр координатыг А аас хоёрдугаар координатыг В ээс тус тус сонгон авч бүх хосыг үүсгэвэл:

                    АxB={(m;e),(m:f),(m,k),(p,e),(p,k)}.

б) Өгөгдсөн олонлогуудын элементүүдээс бүх боломжит хосыг үүсгэж тэнцүү олонлогуудын декарт үржвэрийг олбол.АxA={(3:3),(3,5),(5,:3),(5,5)} Декарт үржвэр олох үйлдлийг декартаар үржүүлэх гэж нэрлэдэг.Энэ үйлдлийн хувьд ямар чанар биелэхийг авч үзье А В олонлог ялгаатай элементтэй үед АХВ ВХА декарт үржвэрүүд ялгаатай элементүүдтэй тул декартаар үржүүлэх үйлдлийн хувьд бүлэглэх чанар биелэхгүйг баталж болно.Ө.х дурын А В С олонлгогуудын хувьд

                    1) (AUB)xC=(AxC)U(BxC)

                    2) (AB)xC=(AxB)(BxC) байна                                                                2дугаар бодлого: Хэрэв А={3:4:5}, B={5:7},C={7:8} бол нэгдэлд харгалцах декарт үржвэрийн дистрибутив чанар биелэхийг батал. Бодолт А ба В олонлогийн нэгдлийг олбол АUB={3,,5,7} Декарт үржвэрийн тодорхойдлолтыг хэрэглэн (AUB)xC олонлогийн элементийг тоочин бичвэл (AUB)xC={(3:7),(3:,(4:7),(4,,(5:7),(5,,(7:7),(7,} болно                                                                                                                                .Олонлогуудын декарт үржвэрийг хэрхэн дүрслэхийг авч үзье.Хэрэв А  В олонлогуудын төгсгөлөг цөөн тооны элементтэй бол тэдгээрийн декарт үржвэрийг граф эсвэл хүснэгт ашиглан дүрсэлж болно.

Тухайлбал А={1,2,3} B={3,5} бол декарт үржвэрийг нь 12 дугаар зурагт үзүүлснээр дүрсэлнэ.

 

	3	5
1	(1;3)	(1;5)
2	(2;3)	(2;5)
3	(3;3)	(3;5)

      В

    

 

 

                            а)

 

                                13 дугаар зураг

 

1        2        3

Тоон хоёр олонлогийн (төгсгөлөг ба төгсгөлгүй ) декарт үржвэрийг хос бүр нь хавтгайн цэгийг дүрслэснээр координатын хавтгай дээр дүрсэлж болно.Тухайлбал  А={1,2,3,} ба B={3,5} бол тэдгээрийн декарт үржвэрийг координатын хавтгай дээр 13 дугаар зураг-үзүүлснээр дүрсэлнэ.

3дугаар бодлого  Хэрэв

A) A={1,2,3},B=[3,5];   b) A=R, B=[3,5]

B) A=[1,3}, b=[3,5}      Г) A=R, B=R үед АxB-г координатын хавтгай дээр дүрсэл

Бодолт: а) А олонлог 3 элементээс бүрдэж В олонлог 3 аас5 хүртэлх бүх бодит тоог захын 2 тоотой хамт  агуулж байна. Иймээс АxB декарт үржвэр нь эхний координат 1 эсвэл 2 эсвэл 3 байх хоёр дах координат нь [3;5] засврын дурын бодит тоо байх төгсгөлгүй хосын олонлогоос бүрдэнэ Бодит тооны тэдгээр хосын олонлог координатын хатвгай дээр гурван хэрчмээр дүрслэгдэнэ

б) А В олонлогууд хоёулаа төгсгөлгүй.АхВ олонлогийн хосын эхний координат нь [1,3] завсрын дурын тоо байж болно.Иймээс АхВ декарт үржвэр нь координатын хавтгайд квадратыг дүрсэлнэ.                                        в) АхВ олонлогийн элементийг дүрслэх цэгийн абцисс нь бүх бодит тоо ординат нь [3,5] завсрын тоо байна.                                                                   г) RxR нь бүх боломжит бодит тоонуудаас бүрдэнэ.Мөн математикт гурав дөрөв бүр n олонлогийн декарт үржвэрийг авч үздэг.Тодорхойлолт А1 А2     Аn олонлогуудын декарт үржвэр гэж эхний компонент нь А2 олонлогт    ,n дэх компонент нь Аn олонлогт харьяалагдах n урттай бүх кортежуудын олонлогийг хэлнэ.

Дөрөвдүгээр бодлого А1={2,3}, A2={3,4.5} A3={6,7} олонлогууд өгөгдсөн бол А1х А2 х А3 декарт үржвэрийг ол.

Бодолт: А1 х А2 х А3 олонлогийн элемент нь 3 урттай ба 1 дүгээр координат нь А олонлогт 2дугаар координат нь В олонлогт 3 дугаар координат нь С олонлогт тус тус орших кортеж байна.                                               

Энд      А1 х А2 х А3={(1:2;3;6,(2,3,7,(2:4:6,(2;4:7),

                                    (2:5:6),(2:5:7),(3:3:6),(3:3:7),

                                    (3:4:6(3;4;7),(3;5;6,(3;5:7

 

 

Төгсгөлөг олонлогийн нэгдэл ба 

огтолцлын элементийн тоо

 

Төгсгөлөг ба үл огтолцох 2 олонлогийн нэгдэл олонлогийн элементийн тоог олох дүрмийг хос хосоороо үл огттолоцох i ширхэг олонлогуудын хувьд өргөттгөж болно.Иймд өгөгдсөн гурван олонлогийн нэгдэл 9 элементтэй байна.Ерөнхий тохиолдолд төгсгөлөг хоёр олонлогийн элементийн тоог n(AuB)=n(A)+(B)-n(AnB) 2 томьёогоор тооцоолж олно.

1 дүгээр бодлого Нэг ангийн 40 оюутанаас 32 нь англи хэл 21-нь герман хэл 15-нь англи ба герман хэл тус тус судалдаг.Хэдэн оюутан  англи хэлийг ч герман хэлийг ч судалдаггүй вэ?                                                         Бодолт : Ангийн англи хэл судалдаг оюутны олонлог-А,герман хэл судалдаг оюутны олонлог-В байг.Бодлогын нөхцөлөөр n(A)=32,n(B)=21, n(AB)=15.Англи хэлийг ч,герман хэлийг судалдаггүй оюутны тоог олох ёстой. 

1-дүгээр арга:1 Өгсөн А ба В олонлогийн нэгдэл олонлогийн элементийн тоог олно.Энд 2 томьёог ашиглавал:n(AB)=n(A)+n(B)-n(AB)=32+21-15=38   2.Англи хэлийг ч судалдаг оюутны тоог олбол 40-38=2 болно.     

2дугаар арга Өгсөн олонлогуудыг Эйлер-Венийн дугуйгаар дүрсэлж тэдгээрийн  үл огтолцох дэд олонлог бүрийн элементийн тоог тодорхойлно (15 дугаар зураг) А ба В олонлогийн огтолцолд 15 элемент байх учир зөвхөн англи хэл судалдаг оюутны тоо 17 32-15=17 харин зөвхөн герман хэл судалдаг оюутны тоо 6    21-15=6 тус тус болно.Иймд  n(A)=17+15+6=38 ба иймд анги англи хэлийг ч герман хэлийг ч судалдаггүй оюутны тоо 40-38=2 болно 

 

                          А       R

   

Олонлогуудын декарт үржвэр бодлого

Бодлого 1.Оюутан Дорж ягаан,ногоон  цагаан гэсэн гурван өнгийн цамц хар хүрэн өнгийн 2 өмд ээлжилэн өмсдөг тэр өмд цамцны ялгаатай хос хэдийг өмсөж чадах вэ? Ялгаатай бүх хосын тоог  ол?    Бодолт 1 өмд-А        цамц-B

AВ={ягаан,хар},(ягаан,хүрэн),(ногоон,хар),(ногоон,хүрэн),(цагаан,хар)(цагаан,хүрэн)}

 Бодлого 2.Хөвгүүн Бат Дорж Намсрай нар Оюун Цэцгээ Саран Чимгээ гэсэн охидтой танилцсан.Тэд шэнэ жилийн бүжигт хөвгүүн бүр танил охинтойгоо нэг л удаа бүжиглэхээр хоорондоо тохиролдсон.Нийт хосын бүжгийн тоо хэд  вэ? Хөвгүүн,охид бүр хэдэн удаа бүжиглэх вэ?                                                               

ТӨГСГӨЛӨГ ОЛОНЛОГУУДЫН ДЕКАРТ ҮРЖВЭРИЙН ЭЛЕМЕНТИЙН ТОО

     Төгсгөлөг олонлогийн декарт үржвэрийг хэрхэн олохыг бид өмнөх сэдэвт cудалсан.

Тухайлбал, А={x,y,z}, B={m,p} байвал AxB ={(x,m),(x,p), (y,m),(y,p),(z,m),(z,p)}.

“Шинээр үүссэн олонлогийн элементийн тоо хэд вэ?” гэсэн асуултанд хариулахдаа түүний элементийг тоолход хангалттай.    

      Олонлогуудын декарт үржвэрийг үүсгэж, түүний элементүүдийг Хэрэв А олонлогийн элементийн тоо-a, B олонлогийн элементийн тоо-в байвал  А ба В олонлогуудын декарт үржвэрийн элементийн тоо аЧв болно. Ө.х n(AXB)=n(A)Чn(B)=aЧb.

         Энэ дүрмийг олонлогийн тоо t байхад өргөтгөж болно. Ө.х n(A1 ЧA2, Ч,…..Ч At)=n(A1)Чn(A2)Ч…….Чn(At). Тухайлбал, Хэрэв А олонлог 3 элементтэй, В олонлог 4 элементтэй, харин С олонлог 5 элементтэй бол тэдгээрийн декарт үржвэр буюу гурван элементтэй эрэмбэлэгдсэн цуглуулга 3Ч4Ч5=60 болно.  Энэ томьёог бодлого бодход ашигладаг.

·        1дүгээр бодлого: дорж 3 ялгаатай цамц 4 ялгаатай өмдтэй байв. Тэгвэл өмд, цамцны хэдэн хослол өмсөж чадах вэ?
БОДОЛТ: Доржийн цамцны олонлог А, өмдний олонлог В байг. Тэгвэл бодлогын нөхцлөөр n(A)=3, n(B)=4.  AбаВ олонлогуудын элементээр үүсгэх боломжит хосын тоо буюу n(AЧB)-г олох ёстой. Өмнө гарсан томьёо ёсоор n(AЧB)=n(A)Чn(B)=3Ч4=12. Иймээс 3 цамц, 4 өмдөөс үүсгэж болох хослол 12 байна.

·        2дугаар бодлого: 5, 4 ба 7 цифр ашиглан хоёр оронтой тоо хэдийг зохиож болох вэ?

·        БОДОЛТ: Ямар ч хоёр оронтой тооны бичлэг хоёр цифрээс тогтох ба эрэмбэлэгдсэн хосоор төсөөлөн сэтгэж болно. Өгсөн бодлогын энэ тохиолдолд A={5, 4, 7,} олонлогийн элементээс хос үүсгэнэ. Тэр хосын тоог олох ёстой. Ө.х АЧА декартын үржвэрийн элементийн тоог олно. Өмнөх томьёогоор n(AЧA)= n(A)Чn(A)=3Ч3=9 болно. Ингэхлээр 5, 4 ба 7 цифрээр бичигдэх хоёр оронтой тоо 9 байна.

              *  

1Дүгээр цифр

 

2Дугаар цифр            5     4     7   5   4    7     5    4     7

Үүссэн тоо                 55   54   57  45  44  47 75  74  77

                                     16 Дугаар зураг

    Эдгээр бодлоготой ижилхэн бодлогуудыг бодох үед зөвхөн асуултанд хариулаад зогсохгүй бодолтын боломжит хувилбарын тоог олох түүнээсээ сонгох бололцоог байнга бүрдүүлдэг. Тухайлбал, 2дугаар бодлогод зөвхөн 5, ба 4 ба 7 цифр хэрэглэн 2 оронтой бүх  тоог оруулж бичих хувилбарыг олуулж болно. Тэр сонголтыг харуулсан 1 арга нь боломжит хувилбаруудын мод гэж нэрлэгдэх загвар юм. (16 дугаар зураг)

        Энэ загвар нь модтой адилхан, доошоо ургадаг түүнд гол байхгүй юм. Мод “хөлнөөсөө дээшээ” ургадаг шиг тийм хэлбэрийн загварыг байгуулах нь тохиромжтой. * Тэмдэггээр модны үндсийг, харин түүний мөчрөөр бодлогын бодолтын ялгаатай хувилбарыг тус тус дүрсэлдэг. 2 оронтой тоог гарган авахын тулд эхлээд 10тын цифрээ 5, 4 ба 7цифрээр 3 хувилбараас сонгоно. Иймээс *-ээс 3 хэрчим зурж, тэдгээрийн төгсгөлд 5, 4 ба 7 цифр бичиж бичнэ. Дараа нь тухайн 1 цифрийг мөн адилхан 5, 4 эсвэл 7 гурваас 3 янзаар сонгох хэрэгтэй. Иймээс 5, 4 ба 7 цифрээс 3 хэрчим татаж тэдгээрийн төгсгөлд дахин 5, 4 эсвэл 7 цифр бичнэ. Гаргасан  бүх хувилбараа уншхад дээрээсээ доошоо байгуулагдсан модны мөчрийг дайран өнгөрнө.